Uniformly Continuous

释义 Definition

一致连续的（数学/实分析）：指函数在整个定义域上“连续的程度”可以用同一个尺度来控制。更正式地说：对任意 ( \varepsilon>0 )，都存在同一个 ( \delta>0 )，使得对定义域中任意两点 (x,y)，只要 (|x-y|<\delta)，就有 (|f(x)-f(y)|<\varepsilon)。
（提示：它比普通“连续 continuous”更强；普通连续允许 (\delta) 随着点的位置而变化。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈjuːnɪfɔːrmli kənˈtɪnjuəs/

例句 Examples

A constant function is uniformly continuous on any interval.
常数函数在任何区间上都是一致连续的。

If a function is uniformly continuous on ((0,1)), then small changes in (x) always produce uniformly small changes in (f(x)), no matter where (x) is in the interval.
如果一个函数在 ((0,1)) 上一致连续，那么无论 (x) 位于区间的哪个位置，(x) 的微小变化都会始终引起 (f(x)) 的同样可控的小变化。

词源 Etymology

uniformly 来自 uniform（“统一的、一致的”）+ -ly（副词后缀），表示“以一致的方式”；continuous 来自拉丁语 continuus（“连续不断的”）。合在一起，“uniformly continuous”字面意思就是“以统一尺度保持连续”，用来强调控制连续性的 (\delta) 不依赖于具体点的位置。

相关词 Related Words

• Continuous
• Uniform
• Continuity
• Lipschitz
• Bounded
• Converge
• Compact
• Modulus

文学/经典著作中的出现 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在讨论连续性、紧致性与一致连续性关系时反复出现。
• Calculus（Michael Spivak）——在严谨微积分框架下引入并使用该概念。
• Mathematical Analysis（Tom M. Apostol）——在实分析与函数极限相关章节系统使用“uniformly continuous”。
• Introduction to Real Analysis（Bartle & Sherbert）——作为初等实分析核心概念之一频繁出现。